Valeur d’un jeu à somme nulle

Il vérifie d’abord si la matrice possède un point selle, auquel cas les deux joueurs peuvent adopter des stratégies pures sans profiter d’un changement unilatéral. En l’absence de point selle, il calcule les probabilités du mélange d’équilibre pour chaque joueur ainsi que la valeur espérée du jeu. Le résultat précise la méthode, la valeur et les probabilités associées à la première et à la seconde ligne ou colonne.

Saisissez la matrice du point de vue d’un joueur

Représentez le jeu par deux lignes et deux colonnes, chaque case indiquant le gain du joueur en lignes pour la combinaison d’actions correspondante. Puisque le jeu est à somme nulle, le gain du joueur en colonnes est l’opposé de cette valeur ; aucune seconde matrice n’est nécessaire. Respectez l’ordre : la première paire décrit la première stratégie de ligne, la deuxième décrit la seconde, et les positions de chaque paire correspondent aux deux colonnes. Une valeur positive favorise le joueur en lignes, une valeur négative favorise son adversaire et zéro est neutre. Les décimales sont admises si les quatre valeurs sont des nombres finis. Le calculateur exige exactement quatre gains, car ses formules et ses libellés concernent exclusivement les jeux 2x2. Un jeu comportant davantage d’actions peut parfois être réduit après élimination de stratégies strictement dominées, mais cette réduction doit être justifiée séparément. Les probabilités produites conservent strictement l’ordre des lignes et colonnes fourni.

Comprenez le test du point selle et la solution pure

Le joueur en lignes cherche à maximiser le gain qu’il peut garantir après la réponse adverse. Le calculateur relève donc le plus petit gain de chaque ligne, puis retient le plus grand de ces minimums : le maximin. Le joueur en colonnes raisonne à l’inverse ; il relève le plus grand gain de chaque colonne, puis choisit le plus petit de ces maximums : le minimax. Lorsque ces deux valeurs sont égales, leur case commune constitue un point selle et donne la valeur du jeu. Aucun joueur ne peut améliorer seul son résultat, si bien qu’un équilibre en stratégies pures suffit. La sortie désigne le point par des numéros de ligne et de colonne commençant à un, attribue la probabilité un à l’action retenue et zéro à l’autre. Une matrice dégénérée peut contenir plusieurs points selle valides. Le calculateur renvoie alors la première paire cohérente dans l’ordre de saisie ; elle reste optimale même si d’autres combinaisons pures ou mixtes le sont également.

Interprétez les stratégies mixtes et la valeur du jeu

Si le maximin est inférieur au minimax, aucune paire d’actions pures n’est stable et chaque joueur doit tirer ses actions au sort. Le calculateur résout les équations d’indifférence : le joueur en lignes choisit des probabilités qui rendent son adversaire indifférent entre les colonnes, tandis que le joueur en colonnes fait de même entre les lignes. Chaque stratégie est un tableau de deux nombres dont la somme vaut un. Le premier correspond à la première ligne ou colonne, le second à la suivante. Il s’agit de fréquences stratégiques, et non d’une prédiction pour une manche précise. La valeur affichée est le gain espéré du joueur en lignes lorsque les deux adversaires jouent de façon optimale ; celle du joueur en colonnes est son opposé. Une valeur positive favorise les lignes à long terme, une valeur négative favorise les colonnes et zéro décrit un jeu équitable en espérance. L’arrondi est déterministe, mais le calcul utilise les gains saisis avant formatage. Une requête automatisée par API coûte $0.002.