Nullsummenspiel berechnen

Zunächst wird geprüft, ob ein Sattelpunkt vorhanden ist, an dem beide Beteiligten reine Strategien verwenden können, ohne durch einen einseitigen Wechsel besser abzuschneiden. Gibt es keinen Sattelpunkt, berechnet das Werkzeug die optimalen Mischwahrscheinlichkeiten beider Seiten sowie den erwarteten Spielwert. Das Ergebnis nennt das verwendete Verfahren, den Wert und die Wahrscheinlichkeiten für die jeweils erste und zweite Zeile beziehungsweise Spalte.

Geben Sie die Matrix aus Sicht einer Spielseite ein

Stellen Sie das Spiel mit zwei Zeilen und zwei Spalten dar. Jeder Eintrag bezeichnet die Auszahlung an den Zeilenspieler für die jeweilige Kombination von Entscheidungen. Da es sich um ein Nullsummenspiel handelt, erhält der Spaltenspieler den negativen Wert desselben Eintrags; eine zweite Matrix ist deshalb nicht erforderlich. Achten Sie auf die Reihenfolge: Das erste Wertepaar gehört zur ersten Zeilenstrategie, das zweite zur zweiten, und die Positionen innerhalb jedes Paares stehen für die beiden Spaltenstrategien. Positive Werte begünstigen den Zeilenspieler, negative den Spaltenspieler, null ist neutral. Dezimalwerte sind zulässig, sofern alle vier Angaben endliche Zahlen sind. Der Rechner nimmt genau vier Auszahlungen an, weil seine Formeln und Bezeichnungen für ein 2x2-Spiel ausgelegt sind. Bei mehr Aktionen kann das Entfernen strikt dominierter Strategien das Spiel möglicherweise auf diese Form reduzieren; eine solche Reduktion muss jedoch gesondert begründet werden. Die ausgegebenen Wahrscheinlichkeiten folgen unverändert der eingegebenen Zeilen- und Spaltenreihenfolge.

Verstehen Sie Sattelpunktprüfung und reine Lösung

Der Zeilenspieler möchte die Auszahlung maximieren, die auch nach der Antwort des Gegners garantiert bleibt. Der Rechner bestimmt daher zunächst das Minimum jeder Zeile und wählt anschließend das größere dieser Minima, also das Maximin. Der Spaltenspieler geht umgekehrt vor: Für jede Spalte wird das Maximum ermittelt und davon das kleinere ausgewählt, also das Minimax. Stimmen Maximin und Minimax überein, ist der gemeinsame Matrixeintrag ein Sattelpunkt und zugleich der Wert des Spiels. Keine Seite kann sich durch einen alleinigen Strategiewechsel verbessern, weshalb ein Gleichgewicht in reinen Strategien genügt. Die Ausgabe nennt den Sattelpunkt mit ab eins gezählten Zeilen- und Spaltenpositionen. Die gewählte Aktion erhält Wahrscheinlichkeit eins, die andere null. In einer degenerierten Matrix können mehrere gültige Sattelpunkte vorkommen. Dann wird das erste zusammenpassende Paar in Eingabereihenfolge ausgegeben; es bleibt optimal, auch wenn weitere reine oder gemischte optimale Kombinationen existieren.

Lesen Sie Mischstrategien und Spielwert richtig

Liegt das Maximin unter dem Minimax, ist kein reines Aktionspaar stabil und beide Seiten müssen zufällig mischen. Der Rechner löst die Indifferenzgleichungen: Der Zeilenspieler wählt Wahrscheinlichkeiten, bei denen der Gegner zwischen seinen Spalten indifferent ist, während der Spaltenspieler Entsprechendes für die Zeilen bewirkt. Jede Strategie wird als Feld aus zwei Zahlen ausgegeben, deren Summe eins beträgt. Die erste Zahl gilt für die erste Zeile oder Spalte, die zweite für die jeweils zweite. Diese Werte sind strategische Häufigkeiten und keine Vorhersage für eine einzelne Runde. Der angegebene Spielwert ist die erwartete Auszahlung des Zeilenspielers, wenn beide optimal handeln; für den Spaltenspieler gilt der negative Wert. Ein positives Ergebnis begünstigt bei wiederholtem Spiel die Zeilenseite, ein negatives die Spaltenseite, und null bedeutet Fairness im Erwartungswert. Für eine stabile API-Ausgabe wird deterministisch gerundet, gerechnet wird jedoch mit den ursprünglichen Eingaben. Eine automatisierte API-Anfrage kostet $0.002.