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FOIL-Rechner

Der Rechner für die FOIL-Methode multipliziert zwei Binome der Form (ax + b)(cx + d) und macht jeden Teil der Ausmultiplikation sichtbar.

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Geben Sie die vier Koeffizienten einschließlich negativer Werte ein. Sie erhalten nacheinander die Produkte der ersten, äußeren, inneren und letzten Terme. Anschließend addiert das Werkzeug die beiden linearen Produkte, behält den quadratischen und den konstanten Term bei und liefert das vereinfachte Polynom. So können Sie Hausaufgaben prüfen, Vorzeichen kontrollieren oder nachvollziehbare Lösungswege für Algebraaufgaben erstellen.

Ordnen Sie den Binomen vier Koeffizienten zu

Bringen Sie Ihren Ausdruck zunächst in die Form (ax + b)(cx + d). Der Wert a ist der Koeffizient von x im ersten Binom, b ist dessen Konstante. Die Werte c und d erfüllen im zweiten Binom dieselben Aufgaben. Für (2x + 3)(4x - 5) gilt beispielsweise a = 2, b = 3, c = 4 und d = -5. Das Minuszeichen gehört zum Koeffizienten. Geben Sie deshalb minus fünf ein, statt einen getrennten Operator zu verwenden. Steht vor x keine Zahl, ist der Koeffizient eins: Bei (x + 7) ist a = 1, bei (-x + 2) ist a = -1. Fehlt eine Konstante, tragen Sie null ein. Wenn Sie die vier Werte vor der Rechnung notieren, vermeiden Sie typische Zuordnungsfehler. Der Rechner akzeptiert ganze Zahlen und Dezimalzahlen, sofern jedes Feld eine endliche Zahl innerhalb der veröffentlichten Grenze enthält. In der Ausgabe wird der ursprüngliche Ausdruck rekonstruiert, damit Sie Werte und Vorzeichen vor der Verwendung der Entwicklung prüfen können.

Berechnen Sie erste, äußere, innere und letzte Terme

FOIL ist eine Merkhilfe zur Anwendung des Distributivgesetzes auf zwei Binome. Zuerst werden ax und cx multipliziert; daraus entsteht acx². Bei den äußeren Termen werden ax und d zu adx. Die inneren Terme b und cx ergeben bcx. Zuletzt werden die Konstanten b und d zu bd multipliziert. Der Rechner zeigt jede Operation einzeln mit Zahlenwert und algebraischem Term. Dadurch können Sie einen Vorzeichenfehler gezielt finden, statt lediglich ein falsches Endergebnis festzustellen. Für (2x + 3)(4x - 5) lauten die vier Produkte 8x², -10x, 12x und -15. FOIL ist keine neue Rechenregel, sondern benennt nur die vier Produkte, die sich aus dem Distributivgesetz ergeben. Derselbe Gedanke lässt sich auf längere Polynome übertragen, auch wenn das Akronym dann nicht mehr passt. Die feste Reihenfolge hilft zudem zu kontrollieren, dass jeder Term des ersten Faktors genau einmal mit jedem Term des zweiten Faktors multipliziert wurde.

Fassen Sie Gleichartiges zusammen und prüfen Sie

Nach den vier Multiplikationen sind nur das äußere und das innere Produkt automatisch gleichartige Terme. Beide enthalten x in der ersten Potenz, daher werden ihre Koeffizienten als ad + bc addiert. Das erste Produkt enthält x², das letzte keine Variable; beide lassen sich nicht mit den mittleren Termen verbinden. Allgemein ergibt sich acx² + (ad + bc)x + bd. Im Beispiel wird -10x + 12x zu 2x, sodass 8x² + 2x - 15 entsteht. Die Ausgabe enthält die Rechnung für den mittleren Term, alle drei Koeffizienten in absteigender Gradfolge und eine formatierte Gleichung. Koeffizienten mit dem Wert null werden sinnvoll behandelt: Der sichtbare Ausdruck kann aus nur zwei Termen bestehen, während die Liste alle drei Positionen für die maschinelle Verarbeitung behält. Setzen Sie zur unabhängigen Kontrolle einen einfachen Wert wie x = 1 sowohl in die Faktoren als auch in das entwickelte Polynom ein. Die API kostet $0.002 pro Element; im Browser ist die Berechnung kostenlos.

Anwendungsfälle

Algebra-Hausaufgaben prüfen

Vergleichen Sie jedes FOIL-Produkt mit Ihrem Rechenweg und finden Sie genau die Stelle, an der sich ein Vorzeichen oder Koeffizient geändert hat.

Musterlösungen vorbereiten

Erstellen Sie einheitliche, ausführliche Binommultiplikationen für Unterricht, Nachhilfe oder Übungsblätter.

Symbolische Verarbeitung kontrollieren

Nutzen Sie die Koeffizientenliste und die formatierte Gleichung, wenn ein Ablauf zwei lineare Faktoren transparent ausmultiplizieren soll.

Häufige Fragen

Wofür steht FOIL?

FOIL bezeichnet die ersten, äußeren, inneren und letzten Terme, also die vier Termpaare bei der Verteilung zweier Binome.

Kann ich negative Koeffizienten eingeben?

Ja. Geben Sie das Vorzeichen als Teil des Koeffizienten ein, etwa d = -5, wenn das zweite Binom mit minus fünf endet.

Akzeptiert der Rechner Dezimalkoeffizienten?

Ja. Endliche ganze Zahlen und Dezimalzahlen innerhalb der veröffentlichten Grenze sind zulässig; deterministisches Runden vermeidet Zahlenrauschen.

Warum hat mein sichtbares Ergebnis nur zwei Terme?

Ein Koeffizient kann null sein. Die Formatierung lässt Nullterme weg, die Liste behält jedoch die quadratische, lineare und konstante Position.

Funktioniert FOIL bei Polynomen mit drei Termen?

Das Distributivgesetz gilt weiterhin, dieser FOIL-Rechner ist jedoch für zwei Binome mit jeweils einem linearen und einem konstanten Term ausgelegt.

Für Entwickler — API-Zugang

Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.

Endpunkt

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/foil-method

Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.

Aufruf aus Ihrem Stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/foil-method \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":2,"b":3,"c":4,"d":-5}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/foil-method", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 2,
    "b": 3,
    "c": 4,
    "d": -5
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/foil-method",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 2,
    "b": 3,
    "c": 4,
    "d": -5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/foil-method", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":2,"b":3,"c":4,"d":-5}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":3,"c":4,"d":-5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/foil-method", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Beispiel-Anfrage

{
  "a": 2,
  "b": 3,
  "c": 4,
  "d": -5
}

Beispiel-Antwort

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.foil_method",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Preis

pro Anfrage$0.002

Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.

Limits

max_abs_coefficient 1000000

Fehler

HTTP	Code	Bedeutung
`401`	`unauthorized`	Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer).
`402`	`insufficient_balance`	Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht.
`404`	`unknown_type`	Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog.
`429`	`rate_limited`	Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

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